Logaritmos

Se define la función logaritmo como:

Donde b es la base del logaritmo, que debe ser un número positivo.

También debe ser positivo el argumento x (no se puede obtener un valor negativo con una potencia de un número positivo)

$$\log_3 9= 2 \longleftrightarrow 3^2=9$$

$$\log_{10} 1000= 3 \longleftrightarrow 10^3=1000$$

$$\log_2 128= 7 \longleftrightarrow 2^7=128$$

$$\log_b 1 = 0 \longleftrightarrow b^0 = 1$$

• Si no se indica la base se refiere a base 10 : $\boxed{\log x \equiv \log_{10}x}$

• En el caso del logaritmo natural la base es $e = 2.7182...$ y se escribe como $\boxed{\ln x = \log_e x}$

Esto nos permite calcular un logaritmo en una base b, que posiblemente no sea directo, usando otra base k.

Normalmente usamos como nueva base $k=10$ o $k=e$ con las que podemos usar log o ln en la calculadora (o en las tablas de logaritmos si alguien todavía las utiliza).

Por ejemplo:

$\log_7 3455 = {\Large\frac{log_{10}3455}{\log_{10}7}}= 4,1870$ (usando la calculadora)

Deducción de la fórmula:

Dado que:

$\log_b a =c \longleftrightarrow b^c=a$

Aplicando logaritmos en otra base k en la última igualdad:

$\log_k(b^c)= \log_ka$

Usando la propiedad del logaritmo de la potencia:

$c.\log_k b = \log_k a$

Despejando c:

$c=\frac{\log_k a}{log_k b}$

Uniendo esto a la primera igualdad llegamos a que:

$\boxed{\log_b a = \frac{\log_k a}{log_k b}}$