Balanceo de reacciones por el método algebraico

Este método se basa en la construcción de un sistema de ecuaciones, donde las incógnitas son los coeficientes que corresponden a cada sustancia.

Tiene la ventaja, sobre todo en reacciones donde hay varios reactivos y productos, de ser más "mecánica" que el método de tanteo.

Como el sistema de ecuaciones que se obtiene es homogéneo, siempre tiene una o infinitas soluciones. Si es una, todos los coeficientes son iguales a cero (esto no debería pasar al balancear las ecuaciones). Si son infinitas, elegimos la que tenga los menores coeficientes enteros.

Para empezar una reacción simple:

• Sin balancear

• Agrego los coeficientes: Estos pueden tener cualquier nombre: letras mayúsculas o minúsculas, griegas, con subíndices, etc.). Es conveniente que no se confundan con los símbolos de los elementos.

$$\Large\bold{A}\; \normalsize H_3PO_4 + \Large\bold{B}\; \normalsize Ca(OH)_2 \longrightarrow \Large\bold{C}\; \normalsize Ca_3(PO_4)_2 + \Large\bold{D}\; \normalsize H_2O$$

• Para cada elemento creo la ecuación correspondiente igualando la cantidad presente en los reactivos con la de los productos (coeficiente por subíndice).

$$\left \{ \begin{alignedat}{4} &H &&:\quad 3.A + 2.B &&= 2.D \quad &&(1) \\ &P &&:\quad 1.A &&= 2.C \quad &&(2) \\ &O &&:\quad 4.A + 2.B &&= 8.C + D \quad &&(3) \\ &Ca&&:\quad 1.B &&= 3.C \quad &&(4) \\ \end{alignedat}\right .$$

• Se resuelve el sistema de ecuaciones obtenido por el método que sea más cómodo.

Aunque prefiero usar métodos con matrices, como algunos alumnos no los dominan, en este caso uso sustitución.

Por ser un sistema homogéneo, una manera de obtener un grupo de soluciones (hay otras) es dar un valor arbitrario a uno de los coeficientes. Conviene elegir alguno de los que se repiten en varias de las ecuaciones.

En este ejemplo veo que se repite C en varias ecuaciones, por lo que lo elijo y le doy el valor 1.

Si $\bold{C = 1}$ entonces:

de la ecuación (2) $A=2C \longrightarrow A=2.1 \longrightarrow \bold{A =2}$

de la ecuación (4) $B=3C \longrightarrow B=3.1 \longrightarrow \bold{B =3}$

de la ecuación (1) $3A+2B=2D \longrightarrow 3.2 + 2.3 = 2.D \longrightarrow \bold{D=6}$

Como todos los coeficientes son enteros y no los puedo hacer menores, la ecuación química queda entonces como:

• Sin balancear

$$\Large\bold{A}\; \normalsize CuS + \Large\bold{B}\; \normalsize HNO_3 \longrightarrow \Large\bold{C}\; \normalsize Cu(NO3)_2+ \Large\bold{D}\; \normalsize NO + \Large\bold{E}\; \normalsize S + \Large\bold{F}\; \normalsize H_2O$$

$$\left \{ \begin{alignedat}{4} &Cu &&:\quad A &&= C \quad &&(1) \\ &S &&:\quad A &&= E \quad &&(2) \\ &H &&:\quad B &&= 2.F \quad &&(3) \\ &N &&:\quad B &&= 2.C + D \quad &&(4) \\ &O &&:\quad 3.B &&= 6.C + D + F \quad &&(5) \\ \end{alignedat}\right .$$

Sobre este sistema de ecuaciones elijo una incógnita a la que doy un valor inicial arbitrario.

Aunque por ser las incógnitas que más se repiten B y D debería elegir una de ellas (háganlo para resolverlo ustedes), en este caso voy a escoger a A.

Si $\bold{A = 1}$ entonces:

De la ecuación (1) $C = 1$

De la ecuación (2) $E = 1$

Sustituyo la B = 2.F de la ecuación (3) en las ecuaciones (4) y (5), y como C = 1 queda el sistema:

$$\left \{ \begin{alignedat}{3} &\quad 2.F &&= 2.1 + D \quad &&(4) \\ &\quad 3.(2.F) &&= 6.1 + D + F \quad &&(5) \\ \end{alignedat}\right .$$

Este sistema es fácil de resolver por eliminación, restando las ecuaciones

$$\begin{alignedat}{4} & &&\quad 5.F &&= 6 + D \quad &&(5) \\ &-&&\quad 2.F &&= 2 + D \quad &&(4) \\ \hline & &&\quad 3.F &&= 4 && \\ \end{alignedat} \\ \longrightarrow F = \frac{4}{3}$$

Y sustituyendo este valor de F en (3) y en (4) o (5) obtenemos $B= \frac{8}{3}$ y $D = \frac{2}{3}$

Tenemos entonces que:

$$A=1 \quad;\quad B=\frac{8}{3} \quad;\quad C=1 \quad;\quad D=\frac{2}{3} \quad;\quad E=1 \quad;\quad F=\frac{4}{3}$$

Como quedan valores de coeficientes fraccionarios, los multiplicamos a todos ellos por el mínimo común múltiplo de los divisores, que en este caso es 3.

Los valores finales son:

$$A=3 \quad;\quad B=8 \quad;\quad C=3 \quad;\quad D=2 \quad;\quad E=3 \quad;\quad F=4$$

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la reacción se llega a:

Balance que se comprueba que está bien al ser iguales las cantidades de cada elemento en los reactivos y los productos.